数学问题:已知椭圆x^2/2+y^2=1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 01:44:32
1,已知椭圆x^2/2+y^2=1

(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程

答案;x+4y=0(-4/3≤x≤4/3)

(2)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程

答案:x^2+2y^2-2x-2y=0(在椭圆内的部分)

(3)求过点P(1/2,1/2)且被P平分的弦的所在直线方程

答案:2x+4y-3=0

最好解析一下

1
令x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1
相减得:
(x1+x2)(x1-x2)/2 + (y1+y2)(y1-y2)=0
因为(y1-y2)/(x1-x2)=2;
所以(x1+x2)/2 + 2(y1+y2)=0
则[(x1+x2)/2]/2 +2[(y1+y2)/2]=0;
即轨迹方程为
x/2 +2y=0;
即x+4y=0 (与椭圆方程联立可求得取值范围-4/3≤x≤4/3)

2
设直线方程为y=1+k(x-2)
与椭圆方程联立即可求得.
注意韦达定理的运用.(x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2 )
解得 x^2+2y^2-2x-2y=0(在椭圆内的部分

3
令直线方程为y=1/2+k·(x-1/2).
(x1+x2)/2=1/2, (y1+y2)/2=1/2,
则x1+x2=1;
y1+y2=1.
且x1^2/2+y1^2=1,x2^2/2+y2^2=1,
相减得:
(x1+x2)(x1-x2)/2 + (y1+y2)(y1-y2)=0
即 1/2 +k=0;
k=-1/2.
所以直线方程为 y=1/2-(1/2)·(x-1/2).
整理得 2x+4y-3=0

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